TEOREMA PYTHAGORAS BANGSA CINA KUNO

TEOREMA PYTHAGORAS BANGSA CINA (KUNO)

Mari kita cermati pencapaian bangsa Cina (kuno) dalam hal matematika, khususnya tentang teorema Pythagoras. Sebelum menulis lebih lanjut tentang teorema Pythagoras bangsa Cina (kuno), perkenankan saya untuk sekedar mengingatkan kembali tentang teorema Pythagoras, yaitu:

 
c²=a² + b²

Teorema Pythagoras sebetulnya tidak ditemukan oleh Pythagoras, melainkan sudah ditemukan oleh matematikawan-matematikawan dari India, Yunani, Cina dan Babilonia. Pemberian nama “Pythagoras” untuk teorema tsb hanyalah karena Pythagoras-lah yang pertama kali mampu membuktikan kebenaran umum dari teorema tsb secara matematis. Sekarang kita mungkin sudah familiar dengan berbagai macam versi pembuktian teorema Pythagoras, tetapi mari sejenak kita lihat bagaimana bangsa Cina (kuno) membuktikan teorema Pythagoras. Pada periode antara 300 SM dan 200 M, bangsa Cina sudah menemukan dan membuktikan teorema Pythagoras.

Sebenarnya apa yang dilakukan oleh bangsa Cina (kuno) lebih pada “menunjukkan”, bukan “membuktikan” karena pembuktian versi mereka tsb tidak bisa digeneralisasikan. (Ingat pembuktian teorema Pythagoras yang berlaku general pertama kali dilakukan oleh Pythagoras). Bangsa Cina “membuktikan” teorema Pythagoras secara konstruksi visual dengan bantuan gambar. Untuk lebih jelasnya silakan lihat gambar berikut, tetapi sayangnya pada teks asli tidak terdapat penjelasan mendetail tentang pembuktian tsb.

Pembuktian di atas sebenarnya “hanya sekadar” menunjukkan kalau “Azure” dan “Red” jika digabungkan akan membentuk suatu persegi baru, yaitu persegi dengan panjang sisi sama dengan panjang hypotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku. Ternyata jika bagian-bagian “Red remove (a dan b)” dan “Azure remove (c)” jika “dipotong” dan “ditempelkan” pada bagian “Red enter dan Azure enter” (a’, b’ dan c’) bisa membentuk suatu persegi dengan panjang sisi sama dengan panjang hypotenusa (sisi miring) siku-siku.

Apa yang dilakukan bangsa Cina (kuno) tsb sebenarnya kira-kira sama dengan pembuktian sederhana akan jumlah besar sudut pada segitiga (Euclidian) sebesar 180^o, seperti terlihat pada gambar di bawah:

Tapi benarkah apa yang dilakukan oleh bangsa Cina (kuno) tsb tidak bisa digeneralisasikan karena hanya berdasarkan permainan konstruksi saja? Mengingat tidak ada penjelasan mendetail pada teks aslinya maka mari sama-sama kita telusuri pembuktian tsb. Untuk mempermudah pembahasan selanjutnya, maka saya gambar ulang konstruksi gambar asli dari bangsa Cina tsb.

Untuk bisa meng-generalisasi-kan pembuktian tsb, maka kita harus bisa membuktikan secara matematis kalau segitiga A₄C₄O₃ = segitiga B₁C₁O₁; segitiga A₁A₂C₄ = segitiga B₃C₃O₂ dan segitiga B₂B₃O₁= segitiga C₃O₂O₃.

Karena pembuktian ketiga kesamaan bagian tsb mirip maka saya buktikan salah satunya saja, yaitu segitiga A₁A₂C₄ = segitiga B₃C₃O₂.

1. Garis A₁A₂ sejajar dengan garis A₃A₄ dan kedua garis tsb dipotong garis C₁C₄ sehingga sudut A₁A₂C₄ = sudut C₄ZA₄.
2. Garis C₁C₄ sejajar dengan garis C₂C₃ dan kedua garis tsb dipotong garis A₄C₂ sehingga sudut A₄C₂C₃ = sudut C₄ZA₄.
3. Dari dua langkah di atas maka terbukti kalau sudut A₁A₂C₄ = sudut A₄C₂C₃.
4. Secara analog kita akan mendapatkan sudut A₁C₄A₂ = sudut O₂C₃C₂.
5. Panjang sisi A₂C₄ = panjang sisi C₂C₃.
6. Karena kedua segitiga tsb memiliki ukuran sudut yang sama dan salah satu panjang sisinya sama maka kedua segitiga tsb kongruen, yaitu sama bentuk dan ukuran alias segitiga A₁A₂C₄ = segitiga B₃C₃O₂.

Secara analog kita akan bisa membuktikan kalau segitiga A₄C₄O₃ = segitiga B₁C₁O₁ dan segitiga B₂B₃O₁= segitiga C₃O₂O₃. Oleh karena itu kita bisa membuktikan kalau ternyata apa yang dilakukan bangsa Cina (kuno) memang benar-benar sebuah pembuktian yang bisa digeneralisasikan.